Bayesov izrek ali verjetnost vzrokov

Bayesov izrek je eden od stebrov verjetnostnega računa . To je teorija, ki jo je predstavil Thomas Bayes (1702-1761) v 18. stoletju. Toda kaj je namen raziskave tega slavnega znanstvenika? Verjetnost izraža v naključnem procesu razmerje med številom ugodnih primerov in številom možnih primerov.

Razvite so bile številne teorije verjetnosti, ki urejajo naš današnji obstoj. Ko gremo k zdravniku, nam ta predpiše zdravilo, ki se bo v našem primeru najverjetneje izkazalo za koristno, tako kot oglaševalci svoje kampanje namenjajo ljudem, ki bodo najverjetneje kupili izdelek, ki ga želijo promovirati, ali turistom in popotnikom, ki izberejo pot, kjer je verjetno najmanj čakalnih vrst.

Zakon popolne verjetnosti je med najbolj znanimi, zato preden govorimo o Bayesov izrek razlagi prvega bomo morali nameniti nekaj vrstic. Če želite to razumeti, navedite samo primer .

Kolikšna je verjetnost (P), da je naključno izbrana oseba iz delovno aktivnega prebivalstva v tej državi brezposelnih ?

Po teoriji verjetnosti bi bili podatki izraženi takole:

• Verjetnost, da je oseba ženskega spola: P (M)
• Verjetnost, da je oseba moški: P (H)

Ker vemo, da 39 % prebivalstva sestavljajo ženske, sklepamo, da: P (M) = 039.

Jasno je torej, da je: P (H) = 1 – 039 = 061. Problem, zastavljen na začetku, nam daje tudi pogojne verjetnosti:

• Verjetnost, da je oseba brezposelna, če ve, da je ženska -> P (P | M) = 022
• Verjetnost, da je oseba brezposelna, če ve, da je moški – P (P | H) = 014

Uporaba zakon popolne verjetnosti imeli bomo:

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P (P) = 022 × 039 014 × 061

P (P) = 017

The . Opazimo, da je rezultat na pol poti med obema pogojnima verjetnostima (022<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

Odkrijmo Bayesov izrek

Zdaj pa predpostavimo, da je odrasla oseba naključno izbrana za izpolnjevanje obrazca in opazimo, da nima službe. Kakšna je v tem primeru in ob upoštevanju prejšnjega primera verjetnost, da je ta naključno izbrana oseba ženska -P (M | P) -?

Za rešitev tega problema bomo uporabili Bayesov izrek ki se uporablja za izračun verjetnosti dogodka tako, da imamo informacije o njem vnaprej . Izračunamo lahko verjetnosti dogodka A, če vemo, da izpolnjuje določene značilnosti (B).

V tem primeru govorimo o verjetnosti, da je naključno izbrana oseba za izpolnjevanje obrazca ženska. Ampak to

Formula Bayesovega izreka

Kot vsak drug izrek potrebujemo formulo.

Zdi se zapleteno, vendar ima vse razlago. Razmišljajmo po delih. Kaj pomeni posamezna črka?

B je dogodeko katerem imamo predhodne informacije.
• L črka A (n) se nanaša na različne pogojene dogodke.
• V delu števca imamo pogojna verjetnost . To se nanaša na verjetnost, da se bo nekaj (dogodek A) zgodilo, če veste, da se bo zgodil tudi drug dogodek (B). Definiran je kot P (A | B) in je izražen kot: verjetnost A glede na B .
• V imenovalcu imamo ekvivalent P (B) in sledi enaka razlaga kot prejšnja točka.

Primer

Če se vrnem k prejšnjemu primeru Recimo, da je odrasla oseba naključno izbrana, da izpolni vprašalnik, in opazimo, da je brezposelnih . Kakšne so možnosti, da bo ta izbranka ženska?

Vemo, da 39 % aktivnega prebivalstva sestavljajo ženske, ostalo pa moški . Vemo tudi, da je delež brezposelnih žensk 22 %, moških pa 14 %.

Končno vemo tudi, da je verjetnost, da je naključno izbrana oseba brezposelna, 017. Če uporabimo formulo Bayesovega izreka, dobimo rezultat, da obstaja verjetnost 05, da naključno izbrana oseba med brezposelnimi

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

Bayesov izrek izhaja iz konjunkcije sestavljenega in absolutnega verjetnostnega izreka, ki smo ga razložili na začetku. Njegova glavna značilnost je, da deluje v vseh interpretacijah verjetnosti.

Ker se lahko uporablja za izračun verjetnosti vzroka, ki je sprožil dogodek njegov pomen je v tem, kako je zgodovinsko vplival na študij statistike . Danes sta pravzaprav znani dve glavni šoli (ena frekventistična in druga bayesovska), ki si nasprotujeta izhajajoč iz razlage te teorije.

Zaključimo z zanimivostjo: ali ste vedeli, da elektronska neželena pošta (tista od Internet e-poštni oglasi) ali deluje zaradi Bayesovega izreka?